Дискриминант – один из основных понятий в алгебре и математическом анализе. Это число, которое вычисляется по формуле, включающей коэффициенты квадратного уравнения. Чаще всего дискриминант используется для определения количества и значений корней этого уравнения.
Существует три возможных значения дискриминанта: положительное число, отрицательное число и ноль. В данной статье мы рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю. Этот случай имеет особое значение, так как он говорит нам о наличии одного корня квадратного уравнения.
Представим, что у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c – это коэффициенты, а x – неизвестная переменная. Для определения количества и значений корней этого уравнения мы используем дискриминант D, который вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac.
- Что такое дискриминант и зачем он нужен?
- Как вычислить дискриминант?
- Когда дискриминант равен 0?
- Каково количество корней у квадратного уравнения с дискриминантом равным 0?
- Какие значения могут принимать корни в случае дискриминанта равного 0?
- Примеры задач с дискриминантом равным 0
- Как найти искомый коэффициент при решении квадратного уравнения с дискриминантом равным 0?
Что такое дискриминант и зачем он нужен?
Дискриминант обычно обозначается как D и вычисляется по формуле D = b² — 4ac, где a, b, c — коэффициенты квадратного уравнения.
Зачем нужен дискриминант? Он помогает решить следующие вопросы:
1. Сколько корней имеет уравнение?
Если дискриминант положительный (D > 0), то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Если дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один корень (который является вещественным и дважды встречается).
Если дискриминант отрицательный (D < 0), то уравнение не имеет вещественных корней, а имеет два комплексных корня.
2. Какими будут корни уравнения?
Если дискриминант положительный, то квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня.
Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень, который является вещественным и дважды встречается.
Если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет два комплексных корня, которые не являются вещественными.
Итак, понимание значения дискриминанта позволяет нам получить информацию о количестве и характере корней квадратного уравнения. Это очень важное понятие в алгебре и математике в целом.
Как вычислить дискриминант?
- Коэффициент при квадрате переменной (a).
- Коэффициент при переменной (b).
- Свободный член (c).
Формула для вычисления дискриминанта D:
D = b2 — 4ac
После вычисления дискриминанта возможны три случая:
- Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
- Если D = 0, то уравнение имеет один корень вещественного типа.
- Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, а имеет два комплексных корня.
Вычисление дискриминанта позволяет понять, какое количество корней имеет квадратное уравнение, и определить их значения.
Когда дискриминант равен 0?
Математически, дискриминант вычисляется по формуле: D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.
Когда дискриминант равен 0, это означает, что уравнение имеет следующие характеристики:
- Уравнение имеет только один действительный корень.
- График уравнения касается оси X в одной точке.
- Уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
Однако, если коэффициенты a, b и c имеют действительные значения, то уравнение может иметь два одинаковых вещественных корня.
Когда дискриминант равен 0, это также может означать, что квадратное уравнение имеет рациональные корни, которые могут быть представлены дробями.
Каково количество корней у квадратного уравнения с дискриминантом равным 0?
Дискриминант определяется по формуле D = b^2 — 4ac. Он является показателем того, сколько корней имеет уравнение. Когда дискриминант равен 0, это означает, что уравнение имеет ровно один корень.
Как найти этот корень? Если D = 0, то x = -b / 2a. В результате получаем одно решение, которое может быть как положительным, так и отрицательным. В обоих случаях это будет единственный корень уравнения.
Таким образом, квадратное уравнение с дискриминантом, равным 0, имеет только один корень.
Какие значения могут принимать корни в случае дискриминанта равного 0?
Когда дискриминант квадратного уравнения равен 0, это означает, что уравнение имеет один корень.
Значение этого корня может быть любым числом, поскольку 0 является нейтральным элементом в математике.
Таким образом, корень будет иметь единственное значение, которое будет совпадать с кратностью уравнения.
Примеры задач с дискриминантом равным 0
Рассмотрим несколько примеров задач, где дискриминант равен 0:
1. Найдите корни квадратного уравнения x² + 4x + 4 = 0.
Решение:
Дискриминант D = 4² — 4 * 1 * 4 = 0.
Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет ровно один корень.
Используя формулу корня квадратного уравнения x = (-b ± √D) / 2a, получаем:
x = (-4 ± √0) / 2 * 1 = -4 / 2 = -2.
Ответ: уравнение имеет один корень x = -2.
2. Решите квадратное уравнение 6x² — 12x + 6 = 0.
Решение:
Дискриминант D = (-12)² — 4 * 6 * 6 = 0.
Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет ровно один корень.
Используя формулу корня квадратного уравнения, получаем:
x = (-(-12) ± √0) / (2 * 6) = (12 ± 0) / 12 = 1.
Ответ: уравнение имеет один корень x = 1.
3. Найдите корни квадратного уравнения 2x² — 4x + 2 = 0.
Решение:
Дискриминант D = (-4)² — 4 * 2 * 2 = 0.
Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет ровно один корень.
Используя формулу корня квадратного уравнения, получаем:
x = (-(-4) ± √0) / (2 * 2) = (4 ± 0) / 4 = 1.
Ответ: уравнение имеет один корень x = 1.
Все примеры задач показывают, что когда дискриминант равен 0, квадратное уравнение имеет один корень.
Как найти искомый коэффициент при решении квадратного уравнения с дискриминантом равным 0?
Когда дискриминант квадратного уравнения равен 0, значит уравнение имеет два одинаковых вещественных корня. Для нахождения искомого коэффициента при решении такого уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта.
Формула дискриминанта для квадратного уравнения выглядит следующим образом:
Д = b² — 4ac
Где:
| Символ | Объяснение |
|---|---|
| b | Коэффициент при x в квадрате (обычно называется «а») |
| a | Коэффициент при x (обычно называется «b») |
| c | Свободный член (обычно называется «c») |
Если дискриминант равен 0, то это означает, что выражение b² — 4ac также равно 0. Зная это, мы можем решить уравнение для нахождения искомого коэффициента.
Уравнение с дискриминантом равным 0 имеет следующий вид:
ax² + bx + c = 0
Если дискриминант D равен 0, то решение уравнения можно найти с помощью следующей формулы:
x = -b / (2a)
Таким образом, искомый коэффициент будет равен -b / (2a).
Например, если у нас есть квадратное уравнение x² + 4x + 4 = 0, то мы можем узнать, что дискриминант равен 0. Зная, что коэффициент при x в квадрате равен 1 (a = 1) и коэффициент при x равен 4 (b = 4), мы можем использовать формулу для нахождения искомого коэффициента:
-b / (2a) = -4 / (2 * 1) = -4 / 2 = -2
Таким образом, искомый коэффициент равен -2.