Квадратные уравнения – это уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты, причем a не равно нулю. В таких уравнениях часто возникает величина, называемая дискриминантом. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac и помогает определить, какие решения имеет уравнение.
Однако бывают случаи, когда дискриминант равен нулю. Это значит, что уравнение имеет только один корень. Такие уравнения называются квадратными уравнениями с нулевым дискриминантом. Они особенно интересны, так как в этом случае корень уравнения можно найти без использования формулы квадратного корня. Давайте рассмотрим несколько примеров таких уравнений.
Пример 1: Решить уравнение x^2 — 6x + 9 = 0.
Здесь коэффициенты a, b и c равны соответственно 1, -6 и 9. Вычислим дискриминант: D = (-6)^2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0. Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет только один корень. Чтобы найти этот корень, достаточно взять коэффициент bx (в данном случае -6) и поделить на 2a. Получаем: x = -6 / (2 * 1) = -6 / 2 = -3. Таким образом, решение уравнения x^2 — 6x + 9 = 0 состоит из одного корня x = -3.
Пример 2: Решить уравнение 4x^2 + 4x + 1 = 0.
В этом примере коэффициенты a, b и c равны 4, 4 и 1 соответственно. Вычислим дискриминант: D = 4^2 — 4 * 4 * 1 = 16 — 16 = 0. Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет только один корень. Решив уравнение -b/2a, получим: x = -4 / (2 * 4) = -4 / 8 = -1/2. Таким образом, решение уравнения 4x^2 + 4x + 1 = 0 также состоит из одного корня -1/2.
Приведенные примеры демонстрируют, что в некоторых случаях квадратные уравнения могут иметь только один корень, а дискриминант таких уравнений равен нулю. Это позволяет нам использовать простые формулы для нахождения корней и упрощает решение задач, связанных с квадратными уравнениями.
Пример 1: Квадратное уравнение с равными корнями
Если у квадратного уравнения коэффициенты a, b и c таковы, что дискриминант D равен нулю, то данное уравнение имеет одинаковые корни. Рассмотрим следующий пример:
Дано квадратное уравнение: x^2 — 4x + 4 = 0
| Коэффициенты | a | b | c |
|---|---|---|---|
| Значения | 1 | -4 | 4 |
Рассчитаем дискриминант данного уравнения:
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4*1*4 = 16 — 16 = 0
Так как дискриминант равен нулю, то данное уравнение имеет один корень.
Решение данного уравнения:
x = -b/2a = -(-4)/2*1 = 4/2 = 2
Таким образом, квадратное уравнение x^2 — 4x + 4 = 0 имеет единственное решение x = 2.
Пример 2: Квадратное уравнение с мнимыми корнями
Квадратное уравнение с нулевым дискриминантом имеет мнимые корни. Это означает, что уравнение не имеет решений в обычном смысле, так как корни являются комплексными числами. Для того чтобы решить такое уравнение, необходимо использовать комплексные числа и их свойства.
Рассмотрим пример квадратного уравнения с нулевым дискриминантом:
Уравнение: x^2 + 4 = 0
Решение:
- Запишем уравнение в виде x^2 = -4.
- Используя свойство комплексных чисел, запишем корень из отрицательного числа: x = ±√(-1) * √4.
- Так как √(-1) обозначается как i, получаем два мнимых корня: x = ±2i.
Таким образом, квадратное уравнение x^2 + 4 = 0 имеет два мнимых корня: x = 2i и x = -2i.
Важно понимать, что мнимые корни являются валидными решениями квадратного уравнения с нулевым дискриминантом. Они имеют важное значение в математике и широко применяются в различных областях науки.
Пример 3: Квадратное уравнение с отрицательными коэффициентами
Рассмотрим пример квадратного уравнения с отрицательными коэффициентами:
ax2 + bx + c = 0
где a, b и c — отрицательные числа.
Пусть дано уравнение:
-2x2 — 3x — 7 = 0
Для решения данного квадратного уравнения с отрицательными коэффициентами, мы можем использовать квадратное уравнение со знаком «плюс» перед каждым коэффициентом:
2x2 + 3x + 7 = 0
Затем мы можем найти дискриминант квадратного уравнения:
D = b2 — 4ac = 32 — 4(2)(7) = 9 — 56 = -47
Так как дискриминант отрицателен, это означает, что уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, квадратное уравнение -2x2 — 3x — 7 = 0 с отрицательными коэффициентами не имеет решений в действительных числах.
Пример 4: Квадратное уравнение с дробными корнями
Для начала найдем дискриминант уравнения:
D = b^2 — 4ac
D = 0^2 — 4 * 3 * (-2)
D = 0 — (-24)
D = 24
Так как значение дискриминанта равно 24, то уравнение имеет два корня.
Выразим корни уравнения с помощью формулы:
x1,2 = (-b ± √D) / (2a)
x1,2 = (0 ± √24) / (2 * 3)
x1,2 = ±√6 / 3
Таким образом, корни уравнения являются дробями: x1 = √6 / 3 и x2 = -√6 / 3.
Пример 5: Квадратное уравнение с одним корнем
Пусть дано уравнение 2x^2 + 4x + 2 = 0.
Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 — 4ac.
Вычислим дискриминант для данного уравнения: D = 4^2 — 4 * 2 * 2 = 16 — 16 = 0.
Так как дискриминант равен нулю, у нас есть только один корень.
Решим уравнение используя формулу корня квадратного уравнения: x = -b/2a.
Подставим значения коэффициентов в формулу: x = -4/2*2 = -4/4 = -1.
Таким образом, уравнение 2x^2 + 4x + 2 = 0 имеет единственный корень x = -1.
Пример 6: Квадратное уравнение без корней
Рассмотрим квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c заданы числами. Если дискриминант уравнения равен нулю, то это означает, что уравнение не имеет действительных корней.
Рассмотрим пример:
- Исходное уравнение: x2 + 4x + 4 = 0
- Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = 4
- Дискриминант: D = b2 — 4ac = 42 — 4 * 1 * 4 = 16 — 16 = 0
Поскольку дискриминант равен нулю, решений у данного уравнения нет. Графически это означает, что график квадратного уравнения представляет собой прямую, которая не пересекает ось x.