Функция представляет собой комбинацию косинусной и квадратичной функций. Доказательство четности функций играет важную роль в математике. В данной статье мы рассмотрим доказательство четности функции 7cos4х+3х² с помощью таблицы значений и графика.
Четность функции означает, что функция симметрична относительно оси ординат. То есть, если значение функции равно f(x), то значение функции в точке -x также равно f(x). В случае функции 7cos4х+3х², мы хотим узнать, является ли эта функция четной или нечетной.
Для начала, построим таблицу значений для функции 7cos4х+3х². Для этого возьмем некоторые значения x, например, -2, -1, 0, 1 и 2, и посчитаем соответствующие значения функции. Затем, сравним значения функции для x и -x. Если значения совпадают, то функция является четной, иначе — нечетной.
Функция 7cos4х+3х²: доказательство четности
Для доказательства четности функции 7cos4х+3х² нужно проверить выполнение двух условий:
- Функция обладает симметрией относительно оси ординат.
- Функция является периодической с периодом, равным половине периода косинусной функции.
Первое условие можно проверить, построив график функции и убедившись, что он симметричен относительно оси ординат. Также можно заметить, что при замене переменной x на -x значение функции не изменяется.
Второе условие можно доказать, рассмотрев значения функции в точках x и -x, а также в точках x+п/4 и -(x+п/4). Проверяя равенство этих значений, можно убедиться, что функция обладает периодичностью с периодом, равным п/2.
Таким образом, функция 7cos4х+3х² является четной функцией, так как она обладает симметрией относительно оси ординат и является периодической с периодом, равным п/2.
Для наглядности, ниже представлена таблица значений функции:
| x | 7cos4х+3х² |
|---|---|
| -2п | 7cos(-8п)+12п² |
| -п | 7cos(-4п)+3п² |
| 0 | 7cos(0)+0 |
| п | 7cos(4п)+3п² |
| 2п | 7cos(8п)+12п² |
Определение функции
Функция состоит из трех основных элементов:
- Область определения функции (D) – это множество всех значений, для которых функция определена. Например, в функции f(x) = 7cos(4x) + 3x^2, областью определения может быть любое множество действительных чисел.
- Область значений функции (R) – это множество всех значений, которые функция может принимать. Область значений зависит от области определения и самой функции. Например, в функции f(x) = 7cos(4x) + 3x^2, областью значений могут быть любые действительные числа.
- Правило соответствия – это способ определения соответствия между элементами области определения и области значений функции. В функции f(x) = 7cos(4x) + 3x^2, правило соответствия − это формула f(x) = 7cos(4x) + 3x^2, которая используется для нахождения значений функции для различных значений переменной x.
Определение функции позволяет формализовать математическую связь между переменными, анализировать их взаимосвязь и решать различные задачи, связанные с изменением значений переменных в зависимости от друг друга.
Четность функции
Чтобы доказать четность функции, необходимо проверить выполняется ли равенство f(x) = f(-x) для всех значений x в области определения функции.
Для функции f(x) = 7cos(4x) + 3x², чтобы проверить её четность, необходимо проверить, равны ли значения f(x) и f(-x) при любом значении x.
Для этого можно построить таблицу значений и график функции:
| x | f(x) | f(-x) |
|---|---|---|
| -2 | 10.7 | 10.7 |
| -1 | 3 | 3 |
| 0 | 6 | 6 |
| 1 | 13 | 13 |
| 2 | 20.7 | 20.7 |
Из таблицы видно, что значения функции f(x) и f(-x) совпадают для всех значений x, что говорит о четности функции f(x) = 7cos(4x) + 3x².
Графически можно увидеть симметрию относительно оси y и наличие оси симметрии x=0. Это также является подтверждением четности функции.
Доказательство четности
f(x) = f(-x)
Рассмотрим функцию f(x) = 7cos4x+3x². Для доказательства ее четности подставим вместо x значение -x:
f(-x) = 7cos4(-x)+3(-x)²
Упростим выражение:
f(-x) = 7cos(-4x)+3x²
Используя основное тригонометрическое тождество cos(-θ) = cos(θ), получим:
f(-x) = 7cos4x+3x²
Так как полученное выражение совпадает с исходной функцией f(x), можем заключить, что функция f(x) = 7cos4x+3x² является четной.
Построение таблицы значений
Для построения таблицы значений функции 7cos4х+3х² рассмотрим несколько значений аргумента x и вычислим соответствующие значения функции.
| x | 7cos4х+3х² |
|---|---|
| 0 | 0 |
| π/4 | 7 |
| π/2 | 24 |
| 3π/4 | 37 |
| π | 36 |
Таким образом, построив таблицу значений, мы можем увидеть, как меняется значение функции при различных значениях аргумента x. Это поможет нам дальше анализировать функцию и определить ее свойства, такие как четность.
Построение графика функции
Для построения графика функции 7cos(4x) + 3x² необходимо воспользоваться пониманием основных свойств и характеристик данной функции.
1. Исследование области определения функции: функция $7\cos(4x) + 3x^2$ определена для любых значений $x$, так как косинус является периодической функцией.
2. Определение чётности функции: функция $7\cos(4x) + 3x^2$ является чётной, так как косинус — чётная функция, а $3x^2$ — нечётная функция. Сумма чётной и нечётной функций всегда является чётной.
3. Определение поведения функции при стремлении аргумента к $\pm\infty$: при стремлении $x$ к $\pm\infty$,
ели $\cos(4x)$ колеблется между значениями $-1$ и $1$, функция также будет колебаться и увеличиваться квадратично.
4. Определение точек пересечения с осями координат: для поиска точек пересечения с осью абсцисс решим уравнение $7\cos(4x) + 3x^2 = 0$.
Для поиска точки пересечения с осью ординат подставим $x = 0$ и решим уравнение.
5. Определение экстремумов: для поиска экстремумов возьмем производную от функции, приравняем ее к нулю и решим уравнение. Определим знак второй производной в найденных точках, чтобы узнать тип экстремумов.
Используя полученные данные, построим график функции на графическом редакторе или с помощью программы для построения графиков. Учтите, что график функции должен учесть все найденные особенности и характеристики функции.
Свойства графика
График функции 7cos4х+3х² представляет собой кривую линию на плоскости, которая может быть описана рядом свойств:
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Симметрия | График функции является четным, что означает его симметрию относительно оси OY. Другими словами, если точка (x, y) принадлежит графику функции, то точка (-x, y) также принадлежит ему. |
| Периодичность | Функция имеет период равный π/2 для функции cos4х, и не имеет периода для функции 3х². |
| Прохождение через ось OX | График функции проходит через ось OX при значениях x, для которых функция равна нулю. Это происходит, когда 7cos4х = -3х², или cos4х = -3/7. |
| Максимум и минимум | Функция имеет максимальные и минимальные значения в точках экстремума. При анализе графика можно определить, где эти точки находятся. |
Изучение свойств графика позволяет понять его характер и поведение на плоскости. Это может быть полезно при анализе и решении задач, связанных с данной функцией.
В данной статье было проведено исследование функции 7cos(4х) + 3х² на четность.
- Функция является четной, так как она симметрична относительно оси ординат. Это подтверждается тем, что f(х) = f(-х) для любого значения х.
- Минимальное значение функции достигается при х = 0 и равно 7, а максимальное значение функции достигается при х = π/4 и равно 7(1+ √2).
- График функции представляет собой периодическую кривую, повторяющуюся через каждые π/2 радиан. Это объясняется наличием тригонометрической функции cos(4х) в выражении.
- Поведение графика функции изменяется в зависимости от знака х. При положительных значениях x функция убывает, а при отрицательных значениях x функция возрастает.
Таким образом, функция 7cos(4х) + 3х² является четной и имеет периодический график. Изучение свойств функций позволяет нам лучше понять их поведение и использовать их в различных математических и прикладных задачах.