Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. Однако, если трапеция вписана в окружность, то она приобретает некоторые интересные особенности, которые позволяют установить определенные связи между ее сторонами и углами.
Вписанная трапеция считается особенным случаем трапеции, при котором все вершины этого четырехугольника лежат на окружности. Для такой трапеции справедливы следующие свойства.
Свойство первое: Величина каждого угла трапеции, не принадлежащего основаниям, равна сумме углов, противолежащих ему:
∡DAC + ∡BCD = ∡CAB + ∡CDA
Обратное свойство первое: Если сумма двух непротиволежащих углов вписанной трапеции равна 180 градусам, то каждый из этих углов является прямым. То есть:
∡DAC + ∡BCD = 180 градусов ⇒ ∡DAC = 90 градусов или ∡BCD = 90 градусов
Трапеция вписанная в окружность
Одно из основных свойств трапеции, вписанной в окружность, заключается в том, что сумма противоположных сторон трапеции равна. Другими словами, сумма длин оснований трапеции равна сумме длин боковых сторон.
Казалось бы, как трапеция, имеющая непараллельные основания, помещается внутри окружности? Эта особенность связана с тем, что вершины трапеции находятся на окружности и образуют диаметр.
Трапеция вписанная в окружность имеет ряд уникальных свойств, которые используются в решении геометрических задач и конструировании фигур. Познакомившись с этой особенностью, можно легче понять и решить задачи, связанные с вписанными четырехугольниками и окружностями.
Свойства вписанной трапеции
Свойство 1:
Противоположные стороны вписанной трапеции равны. Если мы обозначим основания трапеции как a и b, a ≠ b, то можно сказать, что a = b.
Свойство 2:
Углы, обращенные к одному основанию, являются смежными. Это означает, что углы α и β, обращенные к основанию a, являются смежными, а углы γ и δ, обращенные к основанию b, также являются смежными.
Свойство 3:
Сумма углов вписанной трапеции всегда равна 360 градусов. Если мы обозначим углы вписанной трапеции как α, β, γ и δ, то α + β + γ + δ = 360°.
Эти свойства позволяют нам легче решать задачи с вписанными трапециями и находить значения неизвестных углов и сторон.